Calculo Vectorial

Producto de los Vectores Unitarios

\widehat{i}\times \widehat{i}=\widehat{j}\times \widehat{j}=\widehat{k}\times \widehat{k}=0
\widehat{i}\times \widehat{j}=-\widehat{j}\times \widehat{i}=\widehat{k}
\widehat{j}\times \widehat{k}=-\widehat{k}\times \widehat{j}=\widehat{i}
\widehat{k}\times \widehat{i}=-\widehat{i}\times \widehat{k}=\widehat{j}
\widehat{i}\times \widehat{i}=\widehat{j}\times \widehat{j}=\widehat{k}\times \widehat{k}=1

Derivada parcial explicita

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-F_x}{F_z}     ,   \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-F_y}{F_z}

Divergencia

\ se \ define \ como \ el \ operador \   \triangledown\cdot F= \frac{\partial F}{\partial x} +\frac{\partial F}{\partial y} +\frac{\partial F}{\partial z}

Tiene una importante interpretación física ya que si la divergencia es positiva el liquido o gas se expandirá y si es negativa se contraerá.

Teorema de Green

\oint P dx \ +Q dy \ =\iint\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \ dA

Rotacional

Operador que muestra la tendencia de un campo de rotar alrededor de un punto, también se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero.

tiene las siguientes caracteristicas:

-\ Si \ F(x,y,z)  \ es \ un \ campo \ vectorial \ conservativo\ entonces  \ rot \ (F) \ = 0 
-\  Si \ el \ campo \ vectorial  \ F(x,y,z) \ es \ una \ función \ definida \ sobre \ todo \  R^3 \ cuyas \ componentes\newline  tienen \ 
 \ derivadas \  parciales \  continuas  \ y  \ el   \ Rot (F) = 0,  \ entonces  \ F  \ es \  un \  campo  \ vectorial  \ conservativo.
- \ Si  \ el  \ campo \  escalar \  f(x,y,z) \  tiene  \ derivadas  \ parciales  \ continuas \  de \  segundo  \  orden,  \newline
 entonces  \ el  \ Rot (f) =0

Teorema de Gauss/ Divergencia

Sea \  E \  una \ región \ sólida \ simple \ y \ S \ la\  superficie\  frontera\ 
de\  E, dada \ con \ orientación\  positiva\  (hacia\  afuera).\newline
\  Sea \ F\  un \ campo\  vectorial\  cuyas \  funciones \ componentes \ tienen \ derivadas \ parciales \ continuas\newline   \ en\  una \ región \ abierta \ que \ contiene \  E. \ Entonces:
\iint F\cdot\ dS=\iiint div(F)\cdot\ dV

Teorema de Stokes

Hessiano de dos variables

\begin{bmatrix}
   f_{xx} & f_{xy} \\
   f_{xy} & f_{yy}
\end{bmatrix}
\\  \phantom{1} 
\\  \phantom{1} 
a) \ si \ D>0  \ se \ verifica \ si \ f_{xx}>0 \ entonces \ la \ función \ tiene \ un \ MÍNIMO 
\\  \phantom{1} 
si \ f_{xx}<0 \ la \ función \ tiene \ un \ MÁXIMO 
\\  \phantom{1} 
\\  \phantom{1} 
b) \ si \ D<0  \  la \ función \ tiene \ un \ punto \ de \  silla
\\  \phantom{1} 
\\  \phantom{1} 
b) \ si \ D=0  \  el \ criterio \ no \ es \ concluyente

Hessiano de tres variables

\begin{bmatrix}
   f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\
     f_{yx} & f_{yy} & f_{yz}   \\
f_{zx} & f_{zy} & f_{zz}   
\end{bmatrix}
\\  \phantom{1} 
\\  \phantom{1} 
a)  \ Si  \ todos \ los \ determinantes \ tienen \ signo \ positivo ,\ entonces \ la \ función \ tiene \ un \ MÍNIMO

\\  \phantom{1} 
\\  \phantom{1} 
 
b)  \ Si  \ los \ determinantes \ tienen \ signo \ alterno \ (comenzando \ con 
\ negativo \ ),\ entonces \ la \ función \ tiene \ un \ MÁXIMO
\\  \phantom{1} 
\\  \phantom{1} 
c)  \ Si  \ no \ se  \ cumple \ lo  \ anterior \ el \ criterio
\ no \ es \ concluyente \