limites

 \ Indeterminaciones  \ para  \ l'hopital \ 

 \ de  \ la  \ forma  \ 1^\infty ,  \infty^0 , 0^0, 0\cdot\infty, \frac{\infty}{0} \ requiere \ transformacion \ para \ llevar \ a \ la \ forma \ de \ \frac{\infty}{\infty}  \ o  \ \ \frac{0}{0}

Resolver\ el \ limite \ usando \ la \ regla\ de \  l'hopital

\lim_{x\to\infty}  \left( \frac{x+6}{x}\right)^\frac{x}{2} \ reescribimos\ la  \  expresion  \ interna \ como  \   \frac{1+\frac{6}{x}}{1}  

así\ tenemos  \ que \ \  \lim_{x\to\infty}   \frac{x}{2}= \infty \ \ \  y \   \ \  lim_{x\to\infty} \  \frac{1+\frac{6}{x}}{1}  =1 \ \ entonces \ aplicando \ neperiano \ ambos \ lados

\ queda \  ln y= \lim_{x\to\infty}\frac{x}{2} ln  \left( \frac{x+6}{x}\right)  \  nos   \  da   \ indeterminacion  \ de   \  \infty\cdot0

lim_{x\to\infty}\frac{x}{2} ln  \left( \frac{x+6}{x}\right) = lim_{x\to\infty} \frac{ln  \left( \frac{x+6}{x}\right) }{\frac{2}{x}}=\frac{0}{0}  \ así  \ que  \ se  \ aplica  \ l'hopital

lim_{x\to\infty} \frac{\left(ln  \left( \frac{x+6}{x}\right)\right)' }{\left(\frac{2}{x}\right)'}= lim_{x\to\infty} \  \frac{\left(\frac{x}{x+6}\right)\cdot\left(\frac{-6}{x^2}\right)}{\frac{-2}{x^2}}=lim_{x\to\infty} \  \frac{3x}{x+6}  =3

\ Como \ y \  =e^{ln(y)}  \ se  \ concluye  \ que  \  \lim_{x\to\infty}  y= \lim_{x\to\infty}  e^{ln(y)}=e^3